「アクションログ画面」というのは、イベントのイベント詳細画面
のことでしょうか？
また、この画面のどの部分をファイルに保存したいのでしょうか？

まず、Zabbixには、イベント詳細画面で表示されるような情報を、
日次や週次でファイルに出力するような機能はありません。

メッセージアクションの内の情報だけでよければ、アクションでメ
ールを送信するだけではなく、ファイルに出力するようなメディア
を作成して、アクションの実行内容に、そのメディアも使用する設
定を追加する方法が考えられます。

メディアとして登録するスクリプトは、自分で作成する必要があり
ます。
出力されたファイルから、日次や週次で必要な部分だけ切り出して
利用すればよいでしょう。

メッセージアクションの内の情報だけではなく、それ以外のイベン
ト詳細画面の情報が必要であるならば、データベースから値を取得
して加工するようなスクリプトを作成する必要があります。

データベース直接だと難しいと思うので、ZabbixのAPIを活用され
ると良いかもしれません。