rshではなく、rshを呼び出すためのスクリプトですね。

そうであるならば、何らかのスクリプト内で、先ほども書いたよう
にAPIを利用するかSQLを直接利用するかして、rshを実行する前に
情報を抽出して判断するようにしているのだと思います。

ようするに、アクションの実行をrshを直接実行するのではなく、
スクリプトを実行するようにして、スクリプト内で処理分岐できる
ようにするするわけです。

あとは、misakiさんの環境で、どのようにアクションを設定されて
いて、どういう条件の場合にrshでの呼び出しをしないようにする
かの条件を明確にし、それに合った情報をどうやって取得するかを
確認することが必要でしょう。

スクリプトでSQLを発行する場合、スクリプトにユーザ名、パスワードなどを記載しないといけないので
できれば、これ以外の手法で実現したいのですが、Zabbix APIで実行待ちを確認する場合、どのような
手法がありますでしょうか？

SQLを実行するなら、参照権限のみを与えたアカウントを別途用意
する方法が考えられると思います。
情報を参照することさえ許されないなら、スクリプトには書けませ
んね。

API利用する場合でも、結局は、アカウントとパスワードを利用す
るので、同様の問題があるでしょう。

APIを利用する方法に関しては、misakiさんがどのような言語であ
ればスクリプトを作成できるのかわかりませんのでとりあえずヒン
トだけ。

例えば、単純に未実行のものだけ数えるなら、以下のAPIで未実行
のもののリストが取得できるので、jqとか利用すれば件数が取得で
きると思います。

----- ここから -----
{
"jsonrpc": "2.0",
"method": "alert.get",
"params": {
"output": "extend",
"filter": {
"status": "0"
}
},
"auth": "038e1d7b1735c6a5436ee9eae095879e",
"id": 1
}
----- ここまで -----

実行例：
まず、ログインしてセッションのためのID(auth)を取得して、上記
のAPIを呼び出してjqで件数をカウント
----- ここから -----
$ curl -s -XGET -H 'Content-type:application/json-rpc' -d '{"jsonrpc":"2.0","method":"user.login","params":{"user":"Admin","password":"zabbix"},"id": 1}' http://localhost/zabbix/api_jsonrpc.php
{"jsonrpc":"2.0","result":"5f546efc603f5407f6bf62b1f7680b91","id":1}
$ curl -s -XGET -H 'Content-type:application/json-rpc' -d '{"jsonrpc": "2.0","method": "alert.get","params": {"output": "extend","filter": {"status": "0"}},"auth": "5f546efc603f5407f6bf62b1f7680b91","id": 1}' http://localhost/zabbix/api_jsonrpc.php | jq '.result | length'
----- ここまで -----

他にも特定のアクションのみとかも絞れると思いますが、詳細は
APIのマニュアルなどをご参照ください。
https://www.zabbix.com/documentation/2.4/manual/api/reference/alert/get
https://www.zabbix.com/documentation/3.0/manual/api/reference/alert/get

一例ですが、単純には、こんな感じでやったことがあります。
　　アクションで実行するスクリプト（rsh を実行するスクリプト）内で、
　　前回 rsh を実行した時間（専用のファイルに書いてある）から
　　xx 秒経過していなければそこで exit 、
　　xx 秒を過ぎていれば rsh を実行して、現在時刻をファイルに上書きする。

「実行待ちアクションに同じパトライト鳴動処理があるかどうか」を調べるのではなく、単純に前回（実際に）鳴らしてから何秒経ったかを見るのです。
＃まあ実際にはホスト名がどうだとか、もう少し条件をつけていましたが。

rsh を実行しない場合、アクションで実行するスクリプトは一瞬で終わるので、これが溜まることはまずありません。パトライト鳴動というアクションは、短時間で複数実行してもあまり意味が無い（※）ので、一回鳴ったらそれ以降一定時間は鳴らさないということです。

※どうせ音が鳴ったらイベント画面を見ることになるので、大量にイベントが発生していればそこで気づくし、しばらくイベント画面に注目することになるはずなので、この間鳴らなくても問題は無いはず。