1. パスワードを設定する前は正常に動作していたという認識で良いでしょうか？

はい。正常に動作しておりました。
また、パスワードを古いものに戻すと正常に動作します。

2. パスワード変更後、以下のコマンドでログインできたという認識でよいでしょうか？

はい。以下の通り、ログインできます。

# mysql -u zabbix -p
Enter password:
Welcome to the MySQL monitor. Commands end with ; or \g.
Your MySQL connection id is 48 to server version: 5.0.22

Type 'help;' or '\h' for help. Type '\c' to clear the buffer.

mysql>

3. httpdのログ (/var/log/httpd/error_log)には関連しそうなログは出ていないでしょうか？

[Wed Apr 16 17:18:39 2008] [error] [client 127.0.0.1] File does not exist: /var/www/html/zabbix/function.mysql-pconnect, referer: http://localhost/zabbix/index.php
[Wed Apr 16 17:18:41 2008] [error] [client 127.0.0.1] File does not exist: /var/www/html/favicon.ico

というエラーが一度だけ出ました。
ただし、それ以降は何度も再起動などを行いましたが出ていません。

念のため、何度か検証を行ったところ、どうやらmysqlの再起動を行うとログインできなくなるようです。

?mysqlのパスワードを変更
?zabbix_server.confのDBPasswordを変更
?zabbix_serverをrestart
?http://localhost/zabbix/へアクセス
　mysql_pconnect()[function.mysql-pconnect]:Access denied for user `zabbix`@`localhost`(using password:YES)[/var/www/html/zabbix/include/db/inc.php:52]とインストールウィザードが表示される
?/var/www/html/zabbix/include/db/inc.phpのDBパスワードを変更
?しばらくは?のエラーが出てログインできないが、10分ぐらいたつとログインできるようになった
?zabbix_serverを停止
?mysqlのrestart
?zabbix_serverを起動
?しばらくしても?の状態のままログインできず

ただし、zabbix_serverのログを見てみると以下のように正常にmysqlに接続しているようでした。

25394:20080416:183454 Before read
25394:20080416:183454 End get_value_agent(result:99.692056)
25394:20080416:183454 End get_value()
25394:20080416:183454 Query [begin;]
25394:20080416:183454 In process_new_value(vfs.fs.inode[/,pfree])
25394:20080416:183454 In add_history(key:vfs.fs.inode[/,pfree],value_type:0,type:2)
25394:20080416:183454 In add_history(itemid:21652,DOUBLE:99.692056)
25394:20080416:183454 In add_history()
25394:20080416:183454 Query [insert into history (clock,itemid,value) values (1208338494,
21652,99.692056)]
25394:20080416:183454 In add_trend()

また、/var/log/httpd/error_logにも特にエラーがないということで
ブラウザを疑ったのですがfirefoxでもIEでも結果は同じでした。

以上よろしくお願いします。