簡単に書くとすれば以下のような手順です。

１．旧環境上でファイルやデータベースのバックアップを行う
２．新環境上に新しいバージョンのZabbix関連のソフトウェアをインストールする
３．旧環境からバックアップしたファイルやデータベースを新環境にコピーする
４．旧環境で使用していた設定ファイルを新環境で置き換えるか差分のみ新しいファイルに反映する
５．新環境でデータベースサーバーを起動する
６．新環境で起動したデータベースに旧環境でバックアップしたデータをロードする
７．新環境でzabbix_server.confに設定したデータベース接続の設定を確認する
８．新環境でZabbixサーバーを起動する
９．新環境のZabbixサーバーのログでデータベースのアップグレードが終了したことを確認する
１０．新環境でWebサーバーを起動してWebインターフェースからアクセスできることを確認する

各ステップで細かな注意点はあるとは思いますが、mementomoriさん
がどの程度のスキルをお持ちであるのかわかりませんので、手順だ
け簡単にご紹介します。

ご自身で作業をするのが難しいのであれば、サポートを行っている
会社にご相談されることをお勧めします。