Zabbix上の設定で、以下はどうなっているでしょうか？

1. 送信先としたいZabbixユーザの設定で、メールアドレス情報は設定されていますか？
2. 送信先とするアドレスが設定されているZabbixユーザの所属しているユーザグループが、障害元となっているホストグループへの読込権限もしくは読書権限を持っていますか？

トリガー側の設定で、「障害イベントを継続して生成」が無効の場合には、
「正常」→「障害」に変化した１度しか、アクションは実行されません
設定を変更してテストする際には、１度「正常」に戻してから、再度障害を発生させてください

ダッシュボード上「最新の障害20件」での表示で、緑色の「１」となっている部分にカーソルを合わせると、
その時点でのアクション実行内容・履歴が表示されるので、その内容が、以下のようになっているか確認ください

ユーザ→メールアドレスを設定した「ユーザ」の名前
詳細→アクションで利用された「メディア」の名前
ステータス→「送信済」

＃以下は、メール設定としてのお作法の部分ですが‥
１．「送信元メールアドレス　zabbix@example.net」
宛先として設定したアドレスが間違っていた場合に、「宛先不明：送信できませんでした」のメールが、
「送信元」として設定したアドレスへ返送されます
送信元として設定するアドレスは、自分が受信できるアドレスにするのがお作法です

２．SPAM として扱われていませんか？
mail コマンドで送信できているので、とりあえずは大丈夫だと思いますが‥
受信側のメールサーバ（お持ちのメールアドレス宛メールが受信・保存されるサーバ）では
多くの場合、「送信元サーバIP」「送信元サーバホスト名」等で、SPAM 発信元チェックを実施しています
Postfix 側設定や、DNS設定等が不十分な場合、「信用できない送信元」として扱われ、SPAM扱いになる可能性があります

これら理由より、Zabbix 標準のアクションから「メッセージの送信」機能で自サーバ上のPostfix経由で送るのではなく

アクションからスクリプト実行の機能を使い、ZABBIX-JPで配布されている「メール送信用スクリプト」を利用するなどして、
プロバイダや gmail 等の SMTP・SMTPS 等を経由して送信するように設定することをお奨めします