◆ホスト名の変更
・Zabbixサーバの動作そのものにはおそらく影響無いと思います
・Zabbix で利用しているDBや、設定変更用のWebUI が、同サーバ上で動作している場合で、
　設定まわりに「ホスト名」に依存する設定が含まれている場合には、考慮した設定変更が必要となる
　場合があります
　　・MySQLの場合だと、my.cnf内や、起動パラメータ等、IP指定、もしくはホスト名指定のいずれでも
　　　動作するような設定項目がありますので、それら確認しておくべきかと思います
　　・PGSQLでも同様に、設定ファイル内容・起動パラメータ等は確認必要かと。
　　・MySQLの場合、DBユーザのアクセス・セキュリティ設定にも、ホスト名情報等が混じりますので
　　　DBそのものは動作していても、DBへログインできなくなったりする可能性もあります

◆IP変更
サーバ自身に導入しているエージェントをはじめ、その他、各監視対象となっているホストへ導入している
zabbix_agentd の conf にて、
・Server=
・ServerActive=
等、サーバのIPを参照している部分がありますので、ここを修正する必要があります

エージェントは、Server=で許可されているサーバIP以外からの問い合わせには応答しませんので、
監視データが収集できなくなります
また、Active タイプのアイテムでは、エージェントのデータ報告先サーバがServerActiveへ設定されますので
ここが正しくないと、Activeタイプの結果がサーバへ集まらなくなります

＃できるかぎり、環境を詳細にお願いします
＃エージェント・サーバのバージョンはもちろんですが、
＃Linux のディストリビューション名や、利用しているデータベース名、バージョン
＃ネットワーク構成なども、簡単に触れて頂けていれば、それに応じて、
＃追加のアドバイス情報が得られる可能性もあがります

今回の場合ですと、現時点で想定している「IP変更時の手順」「ホスト名変更時の手順」などを
書いて戴ければ、足りていない手順や、追加で確認すべきポイントなど、という形で
情報が集まりやすくなります