Zabbixエージェント以外のサービスであれば、Zabbixエージェント
を経由してリモートコマンドを実行して実現できると思いますが、
Zabbixエージェントが停止してしまっていたら、Zabbixの機能を使
用してサービスを起動させることはできません。

あと、「Zabbix Agent」サービスの状態が停止になってしまってい
たら、Zabbix上で各アイテムの値が取得できていないはずです。

サービスを再起動する1つの方法としては、Windows Server 2003で
使用できたか覚えていないのですが、Windows上の管理ツールのサ
ービスで、「Zabbix Agent」サービスを開いた時に、「回復」とい
うタブはありませんか？

回復タブがあるならば、エラー発生時にサービスを再起動するよう
設定することができるので、その設定を試してみてください。

停止してしまう根本的な原因は、ログを出力させるようにして、停
止時に何かログが出力されていないか確認してみてください。
イベントログも同じ時刻前後のイベントを確認した方が良いでしょ
う。

Zabbixのバージョンが3.4としか書かれていませんが、詳細なバー
ジョンはいくつなのでしょうか？
原因によっては、詳細なバージョンがより新しいバージョンであっ
た方が改善されているかもしれません。