ありがとうございます。
肝心のZabbixサーバのバージョン記載忘れました。Zabbix2.4.6です。

SQL文はテストで"select version()"に変更してZabbixサーバを再起動したところ、
接続先のMySQLサーバ側で下記ログが記録されました。

Connect repl@192.168.56.11 on
Query SET NAMES utf8
Query SET character_set_results = NULL
Query SET SQL_AUTO_IS_NULL = 0

接続はできているようですが、SQL文は実行されていないようです。

ただ、初めのSQL文"show slave status"ですが、
この時もZabbixサーバを再起動すると"select version()"と同じでMySQLサーバ側に
Connect repl@192.168.56.11 on
Query SET NAMES utf8
Query SET character_set_results = NULL
Query SET SQL_AUTO_IS_NULL = 0
が記録されました。

当初接続自体ないと記載しましたが、Zabbixサーバを再起動すると初回のみ接続されるようです。
Zabbixのアイテム設定では更新間隔は30秒になっていますが、30秒たってもConnectは記録されません。
（Quitが記録されていないので接続状態のまま？そのため30秒たっても次のチェックが走らないのでしょうか）

SQLはあまり詳しくはないのですが、ODBCで接続したときは「；」セミコロン不要の認識でした。
実際isqlで接続して"select version()"を実行した際は結果が返ってきます。
isqlで接続して"select version();"を実行した際と同じ結果でした。

念のため、Zabbixのアイテム欄のSQL文にセミコロンつけましたが、結果は変わらずでした。

なお、isqlで接続して"select version()"を実行してquitした際のMySQLのログは下記の通りです

Connect repl@192.168.56.11 on
Query SET NAMES utf8
Query SET character_set_results = NULL
Query SET SQL_AUTO_IS_NULL = 0
Query set @@sql_select_limit=DEFAULT
Query select version()
Quit

"Query SET SQL_AUTO_IS_NULL = 0"までは同じなのでZabbixがSQL文をなぜか投げてくれていないように見えます。

ありがとうございます。
Zabbixのサーバログには特に何も出てきていないです。
なので困っています。

もしよかったらodbcinst.iniとodbc.iniを見せていただけないでしょうか？

ありがとうございます。

単純化のため、odbc.iniのserver = 127.0.0.1、ユーザをrootでローカルのMySQLに対して実行していましたが、結果は変わらずでした。
Connect root@localhost on
Query SET NAMES utf8
Query SET character_set_results = NULL
Query SET SQL_AUTO_IS_NULL = 0

なお、前から引っかかっていたのですが
使用しているドライバーが当方では
UNICODE版がlibmyodbc5w.so、
ANSI版がlibmyodbc5a.so
となっています。
(odbc.iniでUNICODE,ANSI両方とも試しましたが駄目でした)

マニュアルの記載やTNKさんが使われているドライバーは
Driver64 = /usr/lib64/libmyodbc5.so
と思うのですが、これが怪しいのではないかと考えています。
libmyodbc5.soはどのように入手すればいいのでしょうか。

yum -y install unixODBC unixODBC-devel
でODBCドライバーを入れたのですが、このコマンドで/usr/lib64/libmyodbc5.soがインストールされません。

念のため、
yum -y reinstall unixODBC unixODBC-devel
を実行しましたが、/usr/lib64/libmyodbc5.soが入りませんでした。

ありがとうございます。

yum install mysql-connector-odbc
の実行の結果、mysql-connector-odbc.x86_64 0:5.3.4-1.el6
がインストールされていました。

アクセスID/PWはodbc.iniではなくアイテムに記載して実行しましたが、状況は変わらずです。
Zabbixサーバのログには何も出ていないので今のところ打つ手なしです。
Zabbixのサーバログをデバッグモードにすることはできないでしょうか？

ありがとうございます。
デバッグモードをレベル4にしたところ、ODBC接続箇所と思われるログが下記の通り出力しました。

6004:20150916:163653.698 In substitute_key_macros() data:'db.odbc.select[testcheck,slave_check]'
6004:20150916:163653.698 End of substitute_key_macros():SUCCEED data:'db.odbc.select[testcheck,slave_check]'
6004:20150916:163653.698 In substitute_simple_macros() data:'select version()'
6004:20150916:163653.698 In substitute_simple_macros() data:'repl'
6004:20150916:163653.698 In substitute_simple_macros() data:'xxx'
6004:20150916:163653.698 In get_value() key:'db.odbc.select[testcheck,slave_check]'
6004:20150916:163653.698 In get_value_db() key_orig:'db.odbc.select[testcheck,slave_check]'
6004:20150916:163653.698 In odbc_DBconnect() db_dsn:'slave_check' user:'repl'
6004:20150916:163653.704 End of odbc_DBconnect():SUCCEED
6004:20150916:163653.704 In odbc_DBselect() query:'select version()'

これ以降はODBCのログは出力されません。
Zabbix Webインタフェースの[管理][キュー]を見ると該当のデータベースモニタはキュー待ちしているのが確認できます。

ログよりDB接続成功と、select version()を投げているが、MySQLサーバ側より応答がない（応答を待っている）状態に見えます。
MySQLサーバ側を少し疑ってみます。

なお、zabbixフォーラムでは同様の報告が上がっているようですが解決策は見つかっていないようです。
https://www.zabbix.com/forum/showthread.php?t=42572

検証までしていただき、ありがとうございます。
mysql-connector-odbcのバグでしたか。。

mysql-connector-odbc-5.3.4-1.el6.x86_64.rpmを削除して
mysql-connector-odbc-5.1.5r1144-7.el6.x86_64をインストールしてみました。

その結果、、Zabbixのクラッシュおよびisqlが動かなくなりました。
isqlの実行結果は下記のとおりです。
isql: relocation error: /usr/lib64/libmyodbc5.so: symbol strmov, version libmysqlclient_16 not defined in file libmysqlclient_r.so.16 with link time reference

mysql-strmov.patch (revision 3)
ってのを当てれば直るのかな。

ありがとうございます。
CentOS6標準のMySQLを使用しているのでバージョンダウンしたODBCドライバは使用できないという認識であっているでしょうか？

ODBC監視は諦めてSSHエージェントを使用する方向です。
（該当サーバにログインしてSQL実行して値を取得）
この方法だと欲しかった情報がZabbixで取得できましたので、これでいこうと思います。